Compendio di Fisica

Isola ogni corpo separatamente (massa appesa, carrucola, blocco) e disegna tutte le forze su ciascuno.

• Peso: $\vec P = m\vec g$ (verso il basso)
• Reazione vincolare normale: $\vec N$ (perpendicolare alla superficie)
• Tensione delle corde: $\vec T$ (lungo la corda, verso esterno al corpo)
• Attrito: $\vec F_a$ (parallelo alla superficie, opposto al moto o al moto incipiente)

Scomponi tutte le forze sugli assi $x$ e $y$. Per un piano inclinato di angolo $\beta$:

Chi trasla (blocchi, masse appese):

Chi ruota (carrucole, dischi, cilindri):

• Puro rotolamento: $a = \alpha R$ e $v=\omega R$. Il punto di contatto è istantaneamente fermo, l'attrito è statico.
• Corda inestensibile su carrucola: l'accelerazione lineare della corda coincide con $\alpha R$ della carrucola.
• Stessa corda: tensioni uguali se carrucola ideale, diverse se la carrucola ha massa.

Hai $n$ equazioni in $n$ incognite ($a$, $T_1$, $T_2$, $N$, $f_s$). Risolvi simbolicamente, poi sostituisci i numeri.

Scegli con cura: spesso conviene prendere come $A$ il punto di partenza e $B$ il punto di interesse (velocità massima, punto di inversione, …).

• Niente attrito dinamico (piano liscio, rotolamento puro): l'energia meccanica si conserva.
  $E_{c,A} + U_A = E_{c,B} + U_B$
• C'è attrito dinamico: la variazione di energia meccanica è pari al lavoro (negativo) delle forze non conservative.
  $(E_{c,B}+U_B) - (E_{c,A}+U_A) = -f_d\cdot d$
  dove $d$ è la distanza percorsa.

• Punto materiale: $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$
• Corpo rigido in traslazione + rotazione (Teorema di König):
  $E_c = \tfrac{1}{2}M v_{CM}^2 + \tfrac{1}{2}I_{CM}\omega^2$
• Per rotolamento: $\omega = v_{CM}/R$, quindi $E_c = \tfrac{1}{2}Mv^2(1+I/MR^2)$.

• Gravitazionale: $U_g = mgh$ (scegli sempre il livello $h=0$ all'inizio del problema)
• Molla: $U_e = \tfrac{1}{2}kx^2$ (con $x$ deformazione dalla posizione di riposo)
• Elettrica: $U_{\text{el}} = qV$

• Quantità di moto: si conserva sempre se le forze esterne impulsive sono trascurabili (cosa quasi sempre vera in un urto breve).
• Momento angolare: si conserva rispetto a un polo se il momento delle forze esterne rispetto a quel polo è nullo.
• Energia cinetica: si conserva solo negli urti elastici.

Caso completamente anelastico: $v_f = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1+m_2}$. Caso elastico 1D con bersaglio fermo: $v_1' = \dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1$, $v_2' = \dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1$.

• Chi cede calore? (corpo più caldo)
• Chi assorbe calore? (corpo più freddo, ghiaccio, eventualmente le pareti)

Solitamente il sistema è isolato (recipiente adiabatico).

Prima di scrivere il bilancio, verifica se ci sono fasi che cambiano. Per il ghiaccio:

• Q necessario per portarlo a 0°C: $Q_1 = m_g c_g(0 - T_g)$
• Q necessario per fonderlo tutto: $Q_2 = m_g \lambda_f$
• Confronto con il calore disponibile dai corpi più caldi: si scioglie tutto, parte, o niente?

Sistema isolato:

Con la convenzione: $Q$ positivo se assorbito dal corpo, negativo se ceduto.

Formule base:

• Cambio di temperatura: $Q = m c (T_f - T_i)$
• Cambio di fase: $Q = m\lambda$ (T resta costante!)

L'incognita è di solito la temperatura di equilibrio $T_e$ o la massa di fase cambiata. Se il bilancio dà $T_e$ fuori dall'intervallo $[0°C, 100°C]$, significa che hai sbagliato l'ipotesi sulle fasi: ricomincia con un'altra ipotesi.

Disegna una tabella vuota con i punti del ciclo (A, B, C, …) e tre colonne per $P$, $V$, $T$. Riempila usando i dati e l'equazione di stato $PV=nRT$.

Isobara ($P$ costante, segmento orizzontale in $PV$):

• $W = P(V_f - V_i) = nR\Delta T$
• $Q = nc_p\Delta T$
• $\Delta U = nc_v\Delta T$

Isocora ($V$ costante, segmento verticale in $PV$):

• $W = 0$
• $Q = \Delta U = nc_v\Delta T$

Isoterma ($T$ costante, iperbole $PV=$ cost):

• $\Delta U = 0$
• $W = Q = nRT\ln(V_f/V_i)$

Adiabatica ($Q=0$, curva ripida $PV^\gamma=$ cost):

• $Q = 0$
• $W = -\Delta U = -nc_v\Delta T$

• $W_{\text{ciclo}} = \sum W_i$ — coincide con l'area racchiusa nel piano $PV$ (positiva se il ciclo è percorso in senso orario)
• $Q_{\text{ciclo}} = \sum Q_i = W_{\text{ciclo}}$ (perché $\Delta U_{\text{ciclo}}=0$)
• Rendimento: $\eta = W_{\text{ciclo}} / Q_{\text{ass}}$, dove $Q_{\text{ass}}$ è la somma solo dei $Q_i$ positivi (quelli assorbiti).

$S$ è una funzione di stato: dipende solo dagli stati iniziale e finale, non dal percorso. Si calcola lungo una qualsiasi trasformazione reversibile che colleghi gli stessi due stati:

Trucco: se la trasformazione reale è irreversibile (es. espansione libera, urto), immagina un percorso reversibile alternativo e calcola con quello.

• In funzione di $T$ e $V$: $\Delta S = nc_v\ln\dfrac{T_f}{T_i} + nR\ln\dfrac{V_f}{V_i}$
• In funzione di $T$ e $P$: $\Delta S = nc_p\ln\dfrac{T_f}{T_i} - nR\ln\dfrac{P_f}{P_i}$

Casi particolari:

• Isoterma: $\Delta S = nR\ln(V_f/V_i)$
• Isocora: $\Delta S = nc_v\ln(T_f/T_i)$
• Isobara: $\Delta S = nc_p\ln(T_f/T_i)$
• Adiabatica reversibile: $\Delta S = 0$ (isoentropica)
• Adiabatica irreversibile: $\Delta S > 0$ (sempre!)

• Sorgente a $T$ costante (es. ambiente): $\Delta S_{\text{sorg}} = Q/T_{\text{sorg}}$. Attenzione ai segni: se il gas assorbe $Q$, la sorgente perde $Q$.
• Solido/liquido che cambia $T$: $\Delta S = mc\ln(T_f/T_i)$
• Cambio di fase (a $T$ costante): $\Delta S = m\lambda/T_{\text{fase}}$

• $\Delta S_{\text{univ}} = 0$ → trasformazione reversibile
• $\Delta S_{\text{univ}} > 0$ → trasformazione irreversibile (reale)
• $\Delta S_{\text{univ}} < 0$ → IMPOSSIBILE: errore di calcolo o di segno

• $= 0$ → ciclo reversibile
• $<0$ → ciclo irreversibile
• $>0$ → IMPOSSIBILE

• Sfera → usa gusci sferici. Area gaussiana: $4\pi r^2$. Volumetto: $dV = 4\pi r^2\,dr$.
• Cilindro → usa gusci cilindrici. Area laterale gaussiana: $2\pi r h$. Volumetto: $dV = 2\pi r h\,dr$.

NON fare densità × volume se la densità non è costante! Devi integrare:

• Sfera: $Q_{\text{int}}(r) = \displaystyle\int_0^r \rho(r')\cdot 4\pi r'^2\,dr'$
• Cilindro: $Q_{\text{int}}(r) = \displaystyle\int_0^r \rho(r')\cdot 2\pi r' h\,dr'$

Calcola sempre due casi separati:

• $r < R$: l'integrale va da 0 a $r$ (cresce con r)
• $r \ge R$: la carica concatenata resta uguale a quella totale $Q_{\text{tot}} = Q_{\text{int}}(R)$

Scrivi Gauss:

Isola $E(r)$. Dovresti ottenere espressioni diverse per $rR$, che devono raccordarsi in $r=R$ (continuità del campo se non ci sono distribuzioni superficiali).

Per definizione:

Scegli il punto di riferimento con cura:

• Carica finita (sfera): rif. all'infinito, $V(\infty)=0$. Quindi $V(r) = \int_r^\infty E\,dr'$.
• Carica infinita (cilindro indefinito): NON puoi scegliere infinito perché il potenziale diverge. Scegli un punto specifico (asse, superficie, …).
• Se il testo dà un vincolo (es. $V(0)=0$): pa rti da lì.

Per regioni multiple: spezza l'integrale e somma i contributi.

• Distribuzione lineare: $dq = \lambda\,d\ell$
• Distribuzione superficiale: $dq = \sigma\,dS$
• Distribuzione volumetrica: $dq = \rho\,dV$

• Per il campo: $d\vec E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r^2}\hat r$ (vettoriale, attento alla direzione di $\hat r$)
• Per il potenziale: $dV = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r}$ (scalare, banale)

Per il campo: scomponi $d\vec E$ in componenti e vedi quali si annullano per simmetria.

• Sull'asse di un anello: $E_\perp = 0$ per simmetria, sopravvive solo $E_z$.
• Su un piano di simmetria di una distribuzione planare: $E$ è perpendicolare al piano.

Per il potenziale: nessuno scomposizione, è scalare → integra tutti i $dV$.

Esempio per disco di raggio $R$, densità $\sigma$, calcolo di $V$ sull'asse a quota $z$:

• Elemento: anello di raggio $r'$, spessore $dr'$, area $2\pi r'\,dr'$, $dq = \sigma\cdot 2\pi r'\,dr'$
• Distanza dal punto: $\sqrt{z^2+r'^2}$
• $dV = \dfrac{\sigma\cdot 2\pi r' dr'}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{z^2+r'^2}}$
• $V = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R \dfrac{r'\,dr'}{\sqrt{z^2+r'^2}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\right)$

• Piano: $C = \varepsilon_0 A/d$
• Sferico: $C = 4\pi\varepsilon_0\,\dfrac{ab}{b-a}$
• Cilindrico: $C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0 h}{\ln(b/a)}$
• Con dielettrico: $C_{\text{nuova}} = \varepsilon_r\, C_{\text{vuoto}}$

CASO A — Batteria COLLEGATA (interruttore chiuso):

• Vincolo: $V$ è costante (fissata dalla batteria)
• La carica $Q = CV$ varia se cambi $C$ (muovi le armature, inserisci dielettrico)
• Energia: $U = \tfrac{1}{2}CV^2$, conviene usare questa forma

CASO B — Batteria SCOLLEGATA (interruttore aperto):

• Vincolo: $Q$ è costante (non può scappare)
• La tensione $V = Q/C$ varia se cambi $C$
• Energia: $U = \tfrac{1}{2}Q^2/C$, conviene usare questa forma

Quando un condensatore già carico viene scollegato dalla batteria e ricollegato a un altro circuito:

• Sulle armature isolate, la carica totale si conserva.
• Tra armature collegate da un conduttore, la tensione si uniforma.
• L'energia NON si conserva: $\Delta U = U_{\text{iniziale}} - U_{\text{finale}} > 0$ è dissipata (in calore nei conduttori, o per onde EM).

Carica (interruttore chiuso a $t=0$, fem $\varepsilon_0$):

• $Q(t) = C\varepsilon_0(1-e^{-t/\tau})$, $\tau = RC$
• $I(t) = (\varepsilon_0/R)\,e^{-t/\tau}$

Scarica:

• $Q(t) = Q_0\,e^{-t/\tau}$
• $I(t) = (Q_0/RC)\,e^{-t/\tau}$

Per un filo o cilindro coassiale, $\vec B$ è tangenziale (lungo cerchi concentrici) e dipende solo dalla distanza $r$ dall'asse.

Curva: circonferenza di raggio $r$ centrata sull'asse, di lunghezza $2\pi r$.

Se J è costante:

dove $A_r$ è l'area racchiusa dalla curva nel materiale conduttore.

Se J varia:

Calcola sempre due casi:

• $r < R$ (dentro il filo): integrale fino a $r$
• $r > R$ (fuori): $I_{\text{conc}} = I_{\text{tot}}$

Determina il verso con la regola della mano destra (pollice nel verso della corrente, dita avvolte mostrano il verso di $\vec B$).

• Chi crea il campo? Filo rettilineo a distanza $d$: $B = \mu_0 I_s/(2\pi d)$
• Solenoide: $B = \mu_0 n I_s$ all'interno, uniforme
• Dove punta? Usa la regola della mano destra

Per ogni tratto del filo sagomato:

In un campo $\vec B$ uniforme, la forza totale su un filo di forma qualsiasi è uguale alla forza su un filo rettilineo che unisce i punti di inizio e fine:

dove $\vec L_{\text{eq}}$ è il vettore dal punto iniziale al punto finale del filo.

Esempi:

• Semicirconferenza di raggio $R$ in $\vec B$ uniforme: $\vec L_{\text{eq}}$ è il diametro, lungo $2R$.
• Spira chiusa in $\vec B$ uniforme: $\vec L_{\text{eq}} = 0$ → forza totale nulla (ma c'è momento!).

Se B non è uniforme (es. campo di un filo rettilineo vicino): devi integrare $d\vec F$ esplicitamente. Su un filo parallelo a un altro filo non si può applicare il trucco.

Somma le forze sui vari tratti. Spesso forze su lati opposti si compensano (es. lati paralleli di un rettangolo immerso in $\vec B$ uniforme).

Per $\vec B$ uniforme e spira piana: $\Phi_B = BS\cos\theta$.

Capisci cosa varia nel tempo:

• L'area cambia? (es. sbarra che scorre: $S = L\cdot x(t)$)
• Il campo cambia? (es. $B = kt$, $B = B_0 e^{-t/\tau}$)
• L'inclinazione cambia? (es. spira che ruota)

Per una sbarra di lunghezza $L$ che scorre con velocità $v$ in $\vec B$ uniforme perpendicolare alla spira: $\varepsilon = BLv$.

Per $B$ uniforme variabile e area $S$ fissa: $\varepsilon = -S\,dB/dt$.

Verso: per la legge di Lenz, la corrente indotta crea un campo che si oppone alla variazione del flusso che l'ha generata.

• Se $\Phi_B$ cresce → la corrente indotta genera $\vec B_{\text{ind}}$ in verso opposto a $\vec B_{\text{est}}$.
• Se $\Phi_B$ decresce → la corrente indotta genera $\vec B_{\text{ind}}$ nello stesso verso di $\vec B_{\text{est}}$.

• Forza magnetica sulla sbarra mobile (frenante): $F_{\text{magn}} = BI_{\text{ind}}L$, opposta alla velocità.
• Forza esterna per mantenere $v$ costante: $F_{\text{est}} = F_{\text{magn}}$ (stesso modulo, verso opposto).
• Bilancio energetico: la potenza meccanica fornita è uguale a quella dissipata:
  $P_{\text{mecc}} = F_{\text{est}}\cdot v = R\,I^2 = \dfrac{(BLv)^2}{R}$

Ogni filo indefinito a distanza $r_i$ dal punto di interesse genera:

• Pollice nel verso della corrente
• Dita avvolte → mostrano il verso di $\vec B$ attorno al filo
• Nel punto considerato, $\vec B_i$ è tangente alla circonferenza che passa per il punto e ha centro sul filo, cioè perpendicolare al segmento filo-punto

Disegna i vettori $\vec B_i$ nel punto, uno per ogni filo.

Scomponi ogni $\vec B_i$ in componenti $x$ e $y$ (o lungo gli assi naturali del problema, se ce ne sono).

Modulo finale: $|\vec B_{\text{tot}}| = \sqrt{(B_x^{\text{tot}})^2 + (B_y^{\text{tot}})^2}$.